Engineering Transactions, 4, 3, pp. 369-412, 1956

### Obliczanie Sił Krytycznych dla Sprężystych Prętów Niepryzmatycznych Metoda Interpolacji Częściowej

M. Życzkowski
Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN
Poland

The existing tables of critical forces for the most common perfectly elastic non-prismatic bars, prepared chiefly by Dinnik, are not accurate. The subject of this paper is to present a method for obtaining 5 or 6 figure tables with small intervals of the argument (the taper k).
The values of the critical forces can be obtained in an accurate manner by solving transcendental equations of the type (3.20) involving Bessel's functions. Such an equation determines a composite function expressing the dependency of the stability coefficient on- the taper. Equations of the type (3.20) appearing in various domains of theoretical physics have already been considered by several investigators, J. Mac Mahon developed a method based on the expansion of a function in a power series convergent in a certain neighbourhood of the point k = 1 (a prismatic bar), thus computing the values of the first several derivatives of the sought function, at the point k = l. A. Kalähne proposed a method based on the knowledge of the zeros of B e s s e l functions Jp(x) and Yp(x). This method enables us to solve the equation considered for certain values of k non-uniformly scattered over the interval 0<k<1. For other values of the taper k the result can be obtained by interpolation.
A new interpolation method called the method of partial interpolation is proposed in this paper. This method enables us to use the results of Kalähne and Mac Mahon, and to calculate with required accuracy the roots of equations of the type (3.20): The amount of calculation work is relatively small. The ordinary partial interpolation is illustrated in Fig. 1. First, we construct the basic approximation w(z) using some of the conditions available only. These are usually conditions of the Hermitian type, for the ends of the interval (the agreement of the function itself and its first few derivatives). Next, using the remaining conditions we calculate the error at the interpolation in nodal points. This error, b/(x), is interpolated in a suitable manner in each particular sub-interval (in the most simple case the interpolation is linear). The sum of the basic approximation and the interpolated error is believed to be the approximation of the function required. The accelerated partial interpolation method differs from the ordinary method by the fact that in the second stage we interpolate the ratio of the error bi(x) to a certain reference function U(x) instead of interpolating the error itself. This enables a considerable reduction of the final interpolation error ba(x). The paper gives an example of the evaluation of the error for the ordinary and the accelerated partial interpolations Eqs. (8.17) and (8.21), respectively and presents formulae for the coefficients of basic approximations assumed in the form of a polynomial, (9.3), (9.7), and (9.9). The method proposed is compared to known interpolation methods using the example of the well known function y = sin (7/2) x. Finally, the accelerated partial interpolation method is used to calculate the roots of the corresponding transcendental equations and the required values of stability coefficients (Tabs. 2-6).

Full Text: PDF

#### References

l. Teoria stateczności prętów

A. N. Dinnik, Izwiestia Jekatierin. Gorn. Instituta, 1914 (cyt. według [15] i [25]).

A. N. Dinnik, Ustojcziwost uprugich sistiem, AN ZSRR, Moskwa- Leningrad 1950.

A. N. Dinnik, Sprawocznik po tiechniczeskoj miechanikie, Gostiechizdat, Moskwa-Leningrad 1949.

A. N. Dinnik, Prodolnyj izgib. Kruczenje, AN ZSRR i USRR, Moskwa 1955.

B. G. Galerkin, Sobranje soczinienij, t. 1, AN ZSRR, Moskwa 1952.

I. I. Goldienblat i A. M. Sizow, Sprawocznik po rasczotu stroi- tielnych konstrukcij na ustoicziwost i kolebanja, Strojizdat, Moskwa 1952.

M. T. Huber, Stereomechanika techniczna, t. 2 i 4, PZWS, Warszawa 1951.

F. S. Jasinski, Izbrannyje raboty po ustojcziwosti szatych stierzniej, Gostiechizdat, Moskwa-Leningrad 1952.

H. Jung, Ein Beitrag zur Berechnung der Knicklasten, Zeitschr. Angew.Math. Mech. 31 (1951) Berlin.

T. Kármán i M. Biot, Matiematiczeskije mietody w inzeniernom diele, Gostiechizdat, Moskwa-Leningrad 1948 (thum. z ang.).

J. I. Korotkin, A, Z. Lokszin i N. L. Siwiers, Izgib i ustojczi- wost' stierzniej i stierżniewych sistiem, Maszgiz, Moskwa-Leningrad 1953.

. D. Lejties, Ustojcziwost szatych stalnych stierzniej, Strojizdat, Moskwa 1954

J. Naleszkiewicz, Rozwazania ogólne nad zginaniem prostych belek ściskanych, Ksiega Jubil. dla Uczcz. Zaslug Prof. M. T. Hubera, Gdańsk 1950.

J. Naleszkiewicz, Zagadnienia stateczności sprężystej, WK, Warszawa 1953.

W. Nowacki, Z zastosowań rachunku różnic skończonych w mechanice budowli, Arch. Mech. Stos., t. 3, Gdańsk 1951.

E. J. Nyström, Zur numerischen Lösung von Randwertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen, Acta Mathematica 76 (1944), s. 157-184, Upsala (cyt. wedlug [22]).

M. Piątek, Linia ugięcia belki obustronnie utwierdzonej przy dowolnym obciążeniu i zmiennym przekroju, cz. 3, Mat. nadest. na vt Zjazd Nauk. PZITB W Gdansku, Wyd. Min. Budown., nr 37.

A. Pflüger, Stabilitätsprobleme der Elastostatik, Springer, Berlin-Getynga-Heidelberg 1950.

S. D. Ponomariew i inni, Osnowy sowriemiennych mietodow rasczota na procznost w maszinostrojenji, Maszgiz, Moskwa 1952.

A. R. Rżanicyn, Ustojcziwost rawnowiesja uprugich sistiem, Gostiechizdat, Moskwa 1955.

I. Sala, Numerische Lösung von linearen homogenen Eigenwertaufgaben zweiter Ordnung durch Mittelwertmethoden, Soc. Scient. Fennica, Commun. Phys.

Math., 15 (1950), 13, Helsinki.

I. Sala, Über die unelastische Knickung eines verjüngten Stabes, Suomen Teknillinen Korkeakoulu, Helsinki 1951.

K. Sattler, Das Durchbiegungsverfahren zur Lösung von Stabilitäts-problemen, Die Bautechnik 30 (1953), s, 10-11, Berlin.

r. Szelagowski, W sprawie stateczności prętów o zmiennym momencie bezwładności, wyd. Przegl. Techn., Warszawa 1927.

F. Szelągowski, W sprawie wyznaczania krytycznych wartości obciążeń prętów o zmiennym momencie bezwładności, cz. 3, Mat. nadesl. na VI Zjazd Nauk, PZITB w Gdańsku, Wyd. Min. Budown., nr 37.

S. P. Timoshenko, Theory of Elastic Stability, New York 1936.

K. Zweiling, Gleichgewicht und Stubilität, Berlin 1953.

M. Życzkowski, Wyboczenie sprężysto-plastyczne niektórych prętów niepryzmatycznych, Rozpr. Inz. 2 (1954), Warszawa.

M. Życzkowski, W sprawie doboru optymalnego kształtu prętów osiościskanych, Rozpr. Inz. 4(1956).

II. Teoria interpolacji i rozwiazywania równan przestepnych

B. P. Bogert, Some Roots of an Equation Involving Bessel Functions, Journ. Math. Phys. 30 (1951), Massachusetts.

A. P. Filin, K opriedielenju koefficjentow w intierpolacjonnych polinomach, Inz. Sborn., t. 10, Moskwa 1951.

A. O. G elf o n d, Isczislenje koniecznych razmostiej, Gostiechizdat, Moskwa-Leningrad 1952.

. W. L. Gonczarow, Tieorja intierpolirowanja i priblizenja funkcij, Gostiechizdat, Moskwa 1954.

C. Hermite, Sur la formule d'interpolation de Lagrange, Crelle Journ. 84 (1878), S. 70-79 (cyt. wedtug [37] i [39]).

A. Kalähne, Über die Wurzeln einiger Zylinderfunktionen und gewisser aus ihnen gebildeter Gleichungen, Zeitschr. Math. Phys. 54 (1907), Lipsk.

A. Lommicki, Uogólnienie wzoru interpolacyinego Lagrange'a, Rozpr. Wydz. Mat.-Przyr. Akad. Umiejetn., seria A, t, 60, Kraków 1920.

J. Mac Mahon, On the Roots of the Bessel and certain Related Functions, Annals Math. 9 (1894/1895) (cyt. wedtug [36] i [43]).

I. P. Natanson, Konstruktiwnaja tieorja funkcij, Gostiechizdat, Moskwa-Leningrad 1949.

V. Williot, Sur une generalisation de la formule de Lagrange, Bull. Sci. Math, ser. 2, 14 (1890), S. 218-224 (cyt. wedtug [37]).

III. Tablice funkcji

L S. Chrienow, Tablicy trigonomietriczeskich funkcij, Gostiechizdat. Moskwa-Leningrad 1951.

W. N. Faddiejewa M. K. Gawurin, Tablicy funkcij Biessiela J(xc) ciełych nomerów, Gostiechizdat, Moskwa-Leningrad 1950.

A. Gray G. B. Mathews, Funkcji Biessiela i ich pritozenja k fizikie miechanikie, Izd. Inostr. Lit., Moskwa 1953 (tlum. z ang.).

E. Jahnke i F. Emde, Tafeln höherer Funktionen, Lipsk 1948.

K. A. Karpow, Tablicy koefficjentow intierpolacjonnoj formuty Lagrange'a, AN ZSRR, Moskwa 1954.

G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge 1944.