Zastosowanie równań Lagrange'a drugiego rodzaju w zagadnieniu dynamicznym belki Timoshenki pod ruchomym obciążeniem inercyjnym
Przedmiotem rozważań w rozprawie jest zastosowanie równań Lagrange'a drugiego rodzaju do wyprowadzenia równań ruchu belki Timoshenki pod wpływem ruchomego skupionego obciążenia inercyjnego. Równania Lagrange'a drugiego rodzaju zastosowano zarówno do modelu ciągłego belki swobodnie podpartej, jak również do modelu dyskretnego belki o dowolnych warunkach brzegowych. Wyprowadzone przekształcone równanie ruchu modelu ciągłego jest czwartego rzędu ze względu na zmienną czasową i przestrzenną o zmiennych współczynnikach przy wszystkich pochodnych. Podano również warianty tego równania. Analizę modelu dyskretnego ograniczono do dwóch wariantów metody aproksymacyjnej.
Application of the second kind-Lagrange equations to dynamic problems of a Timoshenko beam under moving inertial load
Problem of a mass moving at a constant velocity along a Timoshenko beam of constant cross-section is analyzed. Inertia effects of the moving mass and of the beam itself are applied to the continuous and discrete models of the beam. The resulting equation describing the vibration of the beam is a linear differential equation with variable coefficients.
References
Radakovic, Über die Bewegung einer Saite unter der Entwirkung einer Kraft mit wanderndem Angriffspunkt, "Sitzungsberichte der mathematische - naturwissen schaftllichen Classe der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften ("Wiener Berichte") 108, 577-612, Wien 1899.
С.П. Тимошенко, О вынужденных колебаниях призматических стержиен, Изд. Киевского полхтехн. ин-та, 4, 205-248, 1909.
З. Я.Г.Пановко, Исторический очерк развития теории динамического действияподвижной нагрузки, Труды Ленинградской Краснознаменной военнo-воздуш¬ной инженерной Академии, вып. 17, 8-38, 1948.
С.И. Конашенко, К вопросу о вынужденных поперечных колебаниях простой балки при равномерном движении по балке силы и трупы сил, Труды Днепра петровского ин-та ннж. ж-д. транспорта, вып. 25, 275-300, 1956.
С.И. Конашенко, О вынужденных поперечных колебаниях простой балки при неравномерном движении по ней постаянной силы, Научные сообщение, Но 3(7), Днепропетровского ин-та ннж. ж-д. транспорта, Днепропетровск, 3-15, 1958.
С.И. Конашенко, Приближенное рассмотрение задачи о колебаниях балки при движении по ней груза, Труды Днепропетровского ин-та ннж. ж-д. транспорта, 31, стр. 55-92, 1961.
А.Б. Моргачевский, И.Ф. Кожемякина, Решение задачи о дииамичевском воздействии подвижное нагрузки с учетом сдвига и инерции вращения, Динамика х прочность машин, 2З, 23-27, 1976.
A. Schallenkamp, Schwingungen von Trägern bei bewegten Lasten, Ing.-Arch., 8, 3, 182-198, 1937.
А.А.Фнллипов, Динамическое действие на балку с шаринрнo-опертимн коицамн груза и гармонической силы, движущеся с постоянное скоростью, Изд. АН СССР, ОТН, Механика н машиностроение, 4, 120-125, 1964.
А.А. Фнллипов, С.С. Коэнманюк, Динамическое воздействие подвижных нагрузок на стерэкии, Наукова Думка, Киев 1967.
А.А. Фнллипов, Колебания деформируемых систем, Машиностроение, Москва 1970.
J .Naleszkiewicz, Z dynamiki belki mostowej, Arch. Mech. Stos., 5, 2, 517-544, 1953.
J. Langer, Analiza dynamiczna przęsła mostowego obciążonego ruchomym pojazdem, Arch.Inż.Ląd., 20,4, 591-599, 1974.
J. Langer, M. Klasztorny, Dynamika belki mostowej obciążonej masą ruchomą rozłożoną nierównomiemie, Arch. Inż. Ląd., 26, 4, 657-667, 1980.
J. Langer, Dynamika budowli, Wyd. Polit. Wrocławskiej, Wrocław 1980.
M. Krasiński, J. Niziol, Drgania belki z uwzględnieniem ruchomej masy, Czasopismo Techniczne, 81, 8, 20-27, 1977.
А.Ц. Димнтриев, Колебания балки Тимошенко при движении сосредоточной силы, Труды Ленинградского Ивж. Стронт. Инст., 41-48, 1983.
А.Б. Моргаевскнй, Л.П. Карпов, Г.Ф. Никитнн, Об исследовании величины дина¬мического воздействия подвижной нагрузки с учетом высших гармоник, Исследования по теории сооружения, 16, 15-14, 1968.
А.Ц. Дмитрнев, Поперечные колебания шарнирно опертой балки под действием движущейся силы с учетом волновых процессов, Труды Ленинградского Инстытута Железно-дорожного Транспорта, вып. 343, 131-140, 1972.
S. Chonan, Moving harmonie load on an elastically supporled Timoshenko beam, ZAMM, 59, 9-15, 1978.
S. Chonan, The elastically supported Timoshenko beam subjected to an axial force and a moving load, Int. J. Medl. Sci., 17,573-581, 1975.
Д.Б. Вольпер, А.Б. Маргачевский, О динамическом воздействии подвижной нагрузке при больших скоростях движении, Исследования по теория сооружении, 12, 21-42, 1963.
C.E. Inglis, A mathematical treatise on vibrations in raivay bridges, Cambridge University Press, 1934.
В.В. Волотин, О воздействн подвижной нагрузки на мосты, Труды МИИТ, 74, 269-296, 1950.
В.В. Волотни, О динамическом расчете железнодорожных мостов с учетом массы подвижной нагрузки, Труды МНИТ 76, 87-107, 1952.
б. А.Ц. Дмитриев, Поперечные колебания однопролетиой балки при движении изгибающего момента, Прикладная Мех., 14, 1, 111-115, 1978.
W. Szcześniak, Drgania belki Timoshenki pod wpływem równomiernie rozłożonego, inercyjnego, ciągłego obciążenia ruchomego, Prace Nauk. Polit. Warszawskiej, Budown., z. 112, 77-118, Warszawa 1990.
А.Б. Моргаевскнй, Исследование колебаний балки под действием подвижной нагрузки в виде полуполосы при больших скоростях, Исследования по теории сооружений, 13, 105-120, 1964.
А.Б. Моргаевскнй, Т.К. Кучма, О динамическом воздействии подвижной нагрузки, распределенной на участке конечной длины, Динамика н прочность машин, 12, 72-81, 1971.
А.Ц. Дмитриев, Вертикальные колебания простой балки под действием движущегося груза с учетом иеравностей пути, Труды Ленинградского Иистытута Инж.Ж.-д. Транспорта, 257, 5464, 1967.
А.Ц.Дмитриев, Вертикальные колебания простой балки под действием движу¬щегося системы сил с учетом неравностей пути, Труды Ленинградского Ии¬стытута Инж.Ж.-д. Транспорта, 169-179, 1966.
А.Ц. Дмитриев, Влияние начальные неровностей пути на динамику балки при движении нагрузки, Стронт.мехаивка н расчет сооружений, 5, 64-б6, 1970.
Z. Kączkowski, Dynamika prętów i ustrojów prętowych, cz. II, Mechanika Techniczna, tom IX, Wytrzymałość elementów konstrukcyjnych, PWN, s.188, Warszawa 1988.
W. Szcześniak, Drgania swobodne lepkosprężystej belki Timoshenki i tarczy, Rozpr. Inż., 22, 4, s. 669-687, 1974.
М. Майзель, Колебания балки при неравномерном движении распределниой нагрузки, Научные Труды Днепропетровского Металлургического Инетытута, 12, 121-124, 1959.
М.Ю. Майзель, Колебания балок под действием нагрузки двнгающеюся с переменной скоростью, С6. Научных Трудов Днепропетровского Металлург. Иистытута, 34, 63-71, 1958.
А.Ц. Дмитриев, Вертикальные колебания шарнирной балки при движении по ней сосредоточенной силы с переменной скоростью, Труды Ленинградского Инст.Ииж.Ж: д. транспорта, 305, 156-172, 1970.
Г.Ф. Никитин, О динамическом эффекте подвижной нагрузки при больших переменных скоростях движения с учетом высшие гармоник, Сопротивление материалов и теория сооружений, 6, 77-85, Киев 1968.
А.Ц. Дмитриев, Динамика балки при движение сосредоточенной нагрузки с измеиящихнмнся параметрами, Динамика н прочность машин, 32, 63-б9, Харков 1980.
Renaudot, Etude de l'influence des charges en mouvement sur la resistance, des ponts metallique a poutres droites, Annales des Ponts et Chausses, 1, p. 145, 1861.
W.C. Hurty, M.F. Rubinstein, On the effect of rotatory inertia and shear in beam vibration, J. of the Franklin Inst., 278, 2, p.124-132, 1964.
W.C. Hurty, M.F. Rubinstein, Dynamics of structures, Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, N.J., 1964.
F.Y. Cheng, Vibrations of Timoshenko beams and frameworks, J. of the Struct. Div. Proc. of the ASCE, ST 3, p.551-571, 1970.
Z. Kączkowski, O rozwiązaniu pewnego dynamicznego problemu kontaktowego metodą elementów czasoprzestrzennych, Zesz. Nauk. Pol. Poz., Budown., 31, s. 63-72,1988.
J. Langer, Studium dynamiki przęsła mostowego obciążonego ruchomym pojazdem, Arch. Inż. Ląd., 19,2, 8. 255-262, 1973.
J. Langer, M. Klasztorny, Drgania złożonego układu belkowego pod ruchomym inercyjnym obciążeniem cyklicznym, Arch. Inż. Ląd., 27, 2, 261-279, 1981.
J. Langer, Tłumienie pasożytnicze w komputerowych rozwiązaniach równań ruchu, Arch. Inż. Ląd., 23, 3, 359-369, 1979.
M. Klasztorny, Drgania jednotorowych mostów kolejowych wywołane ruchem pociągów z dużymi prędkościami, Prace naukowe Inst. I. L. Nr 36, Monografie 13, Polit. Wrocł., Wrocław 1987.
T. Borowicz, Metoda elementów skończonych w analizie drgań konstrukcji poddanych działaniu obciążeń ruchomych, Zesz. Nauk. Polit. Świętokrzyskiej, Budown., 15, Kielce 1983.
T. Borowicz, Wybrane zagadnienia dynamiki konstrukcji poddanych działaniu obciążeń ruchomych, Zesz. Nauk. Polit. Świętokrzyskiej, Budown., 25, Kielce 1988.
T. Borowicz, Wytężenie belek pod obciążeniem ruchomym, Arch. Inż. Ląd., 24, 2, 219-235, 1978.
M. Klasztorny, J. Langer, Drgania belki Timoshenki pod ruchomym obciążeniem, Prace Nauk. Inst. Inż. Ląd. Polit. Wrocławskiej, Nr 26, Konferencje, Nr 8, 105-112, 1978.
P. Śniady, Drgania dźwigarów wywołane ruchomym obciążeniem, Prace Nauk. Inst. Inż. Ląd. Polit. Wrocławskiej Nr 21, Monografie Nr 5, 1976.
W. Szcześniak, Warunki początkowe w zagadnieniu dynamicznym belki Timoshenki, Zesz. Nauk. Politechniki Warszawskiej, Budown., z. 108,99-143, Warszawa 1990.
R.A. Anderson, Flexural vibrations in uniform beams according to the Timoshenko theory of bending, J. Appl. Mech. 20,4, p.504-51O, 1953 (and discussion J. Appl. Mech., 1954).
J .Milkowitz, Flexural wave solution of coupled equations representing the more exact theory of bending, J. Appl. Mech., 20, 75, 511-514 (and discussion J. Appl. Mech., 1954).
Я.С. Уфлянд, Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин, Прнкл.Мат. н Мех., 12, 287-300, 1949.
Э.И. Григолюк, Т.И. Селезов, Неклассическне теории колебаний стержней, пластин н оболочек, Итоги Науки и Тех. Твердых Деформир, Тел, Москва 1973.
K. Wilmański, Obciążenie dynamiczne belek. Belka Timoshenki, Mech. Teor. i Stos., 2, 2, s. 83-96, 1964.
J. Bystrzycki, Równania ruchu belek sprężystych. Belka Timoshenki, IPPT PAN, Warszawa 1977.
J. Bystrzycki, Metody rozwiązywania równań belki Timoshenki, Prace IPPT PAN, Warszawa 1977.
J. Bystrzycki, A. Pielorz, Wyznaczanie naprężeń w belce sprężystej obciążonej silami krótkotrwałymi, Prace IPPT PAN, Warszawa 1978.
R. Bogacz, S. Kaliski, Stability ol motion oj nonlinear oscillators moving along a beam on an elastic Joundation, Proc. Vibr.Probl., 5, 1964.
R. Bogacz, K. Popp, Dynamics and stability of troin-trock-systems, Proc. of the second Intern. Conf. on "Recent Advances in Struct. Dyn.", p. 709-721, Southampton 1984.
R. Bogacz, On dynamics and stability of continuons systems subjected to a distributed moving load, Ing.-Arch., 53, 243-255, 1983.
R. Bogacz, S. Nowakowski, On the stability oj a Timoshenko beam on an elastic foundation under a moving spring-mass system, Acta Mechanica, 61, 117-127, 1986.
R. Bogacz, T. Krzyżyński, O belce Bemoulliego-Eulera spoczywającej na lepkosprężystym podłożu poddanej działaniu ruchomego oscylacyjnego obciążenia, Prace IPPT PAN, 38, 1986.
R. Bogacz, T. Krzyżyński, On the wave solution for beam on a viscoelastic foundation subjected to a travelling and oscillating force, Lect. Notes in Engin., Refined Dynamical Theories of Beams, Plates and Shells and Their Applic. Proc. Euromech. Colloq. 219, 245-260, 1987.
R. Bogacz, T. Krzyżyński, K. Popp, On the generalization of Mathews' problem of the vibrations of a beam on elastic foundation, ZAMM, 69, 8, 243-252, 1989.
R. Bogacz, T. Krzyżyński, K. Popp, Influence of beam models on the solutions of the generalized Mathews' problem, ZAMM, 69, 5, 320-321, 1989.
R. Bogacz, T. Krzyżyński, K. Popp, On the group-phase velocity relations for continuous systems under moving loads, ZAMM, 70, 4, 202-203, 1990.
W. Szcześniak, Inercyjne obciążenia ruchome na belkach i płytach. Przegląd podstawowych pozycji literatury, Prace Nauk. PW, Budown., 112, 7-75, Warszawa 1990.
L. Fryba, Vibration of solids and structures under moving loads, Academia, Praque 1972.
A. Kriloff, Über die erzwungehen Schwingungen von gleichförmigen elastischen Staben, Matematische Annalen, 61, 211-234, 1905.
А.Н. Крылов, О некоторых диференциальных уравнениях математической физики, имеющих применение в технических вопросах, Известия морской Акад., ОПБ, 2, 1913.
С.П. Тнмошенко, Прочность н колабання элементов конструкции, Избранные работы под редакцей Э.И.Григолюка, Наука, Москва, 1975.
С.П. Тнмошенко, Статические н динамические проблемы теории упругости, избранные работы под.ред.Э.И.Григолюка, Наука, Москва 1975.
W. Szcześniak, O uściślonym modelu uwzględnienia ruchomego inercyjnego obciążenia na belce Timoshenki, Prace Nauk. PW, Budown. (w druku).
Н.З. Якушев, Некоторые задачи динамики балок под действием нагрузок, Исследования по теории пластин н оболочек, Сборник, 12, 199-220, Издат. Казанского Университета, 1974.