Numeryczna analiza stanów pobifurkacyjnych układów z materiałów podlegających osłabieniu
W pracy przedstawiono niektóre aspekty numerycznej analizy układów podlegających osłabieniu. Przedstawiono dwie propozycje: 1) w jaki sposób dokonać wyboru ścieżki pobifurkacyjnej oraz 2) jak ustabilizować proces iteracji stanów równowagi. Dyskutowane problemy wynikają z faktów niejednoznaczności rozwiązań w stanach pobifurkacyjnych oraz z osiągania stanów równowagi w punktach stacjonarnych, niekoniecznie w minimach lokalnych funkcjonałów energetycznych. Przedstawiona koncepcja prowadzi do wyznaczenia jednej z możliwych ścieżek pobifurkacyjnych. Polega ona na wymuszeniu formy pobifurkacyjnej, odpowiadającej najmniejszej wartości własnej macierzy sztywności. Opracowana procedura numeryczna jest załączana z chwilą pojawienia się ujemnych wyrazów w diagonalnej macierzy D, z rozkładu Choleskiego macierzy sztywności K = LTDL. Koncepcja stabilizacji procesu iteracyjnego polega na użyciu macierzy przesunięcia wyprowadzonej na podstawie przyjęcia zmodyfikowanej postaci funkcjonału całkowitej energii potencjalnej. Zamieszczone w pracy jednowymiarowe przykłady numeryczne służą przedstawieniu trudności numerycznych i efektywności proponowanych rozwiązań.
References
J.L. Batoz, G .S.13H ATT Incremental displacement algorithrns for nonlinear problems, Int. J. Num. Meth. Eng., 14, pp. 1262-1265, 1979.
Z. Bazant, Mechanics of distributed cracking, Appl. Mech. Rev., 39, 5, May 1986.
T. Belytschko, J. Fish, B.E. Engelman, A finite element with embedded localization zones, Comp. Meth. in Appl. Mech. Eng., 1987 (sub. for public.).
T. Belytschko, D. Lasry, T. Łodygowski, A modified Newton procedura for post-bifurcation analysis as in strain-softening, (sub. for public. to Int. J. Num. Meth. Eng.).
R. de Borst, Computation of post-bifurcation and post-failure behaviour of strain-softening solids, Comp. and Struct., 25, 2, pp. 211-224, 1987.
M.A. Crisfield, A fast incremental/iterative solution procedure that handles "snap-through", Comp. and Struct., 13, pp.55-62, 1981.
M.A. Crisfield, An arc-length method including line searches and accelerations, Int. J. Num. Meth. Eng., 19, pp. 1269-1289, 1983.
M.A. Crisfield, J. Wills, Solution strategies and softening materials, Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 66, pp. 267-289, 1988.
V.S. Gopalaratnam, S.P. Shah, Softening response of plain concrete in direct tension, ACI J., pp. 310/323, May-June 1985.
T. Łodygowski, On sorne problems of the numerical analysis of strain-softening struc-tures, ZNPP, 31, pp. 113-121, 1988.
T. Łodygowski, Numerical analysis of beams and frames with strain-softening mate-rials, Rozpr. Inż., 36, 3, pp. 471-486, 1988.
T. Łodygowski, Some aspects of localization in numerical calculations of strain-softening structures, 27th Polish Solid Mech. Conf., pp.111, Rytro 1988.
T. Łodygowski, Numerical analysis of strain-softening structures, Vth Int. Symp. on Numerical Methods in Eng., ed. by R.Gruber, J. Periaux, R.P. Shaw, Part I, pp.371- 376, Lozanna 1989.
M. Ortiz, Y. Leroy, A. Needleman, A finite element method for localized failure ana-lysis, Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 61, pp. 189-214, 1987.
N.S. Ottosen, Thermodynamic consequences of strain softening in tension, J. Eng.Mech., ASCE, 112, 11, pp. 1152-1164, 1986.
S. Pietruszczak, Z. Mroz, Finite element analysis of deformation of strain-softening materials, Int. J. Num. Meth. Eng., 17, pp. 327-334, 1981.
E. Ramm, Strategies for tracing the nonlinear response near limit points, Nonlinear Finite Element Analysis in Structural Mechanics, pp. 13-89, Ruhr.-Univ., Bochum Germany 1980.
E. Riks, The application of Newton's method to the problem of elastic stability, J. Appl. Mech., ASCE, 39, pp. 1060-1065, 1972.
K.C. Valanis, On the uniqueness of the solution of the initial value problem in softening materials, J. Appl. Mech., ASME, 52, pp. 649-653, 1985.
G.A. Wempner, Discrete approximation related to nonlinear theories of solids, Int. J. Solid and Struct., 7, pp. 1581-1599, 1971.